ALJABAR MATRIKS

 

Matriks adalah suatu sistem yang berbentuk jajaran persegi panjang yang berisi bilangan-bilangan, terdiri atas m baris dan n kolom dikatakan berordo m x n. Matriks merupakan salah satu metode yang banyak digunakan dalam penyelesaian matematika. Entri-entri dari sebuah matriks disebut skalar. Entri-entri ini biasanya merupakan bilangan real atau kompleks.

 

Notasi Matriks

Cara penulisan matriks adalah menggunakan dengan huruf besar, A, B, C dan sebagainya.Pada umumnya aij akan menyatakan entri matriks A yang berada pada baris i dan kolom j. Jadi jika A adalah matriks m x n , maka:

a11 a12 a1n

a21 a22 a2n

am1 am2 amn

 

Jka matriks A, maka entrinya aij , matriks B entrinya bij , dan C = cij , dan seterusnya. Matriks yang memiliki hanya satu baris atau satu kolom di sebut vektor. Jika tupel- n dinyatakan sebagai matriks 1 x n disebut Vektor baris, dan matriks n x 1 disebut vektor kolom.

Contoh:

Penyelesaian persamaan linier

X1 + X2 = 3

X1 - X2 = 1

Vektor baris = ( 2 1 )

Vektor kolom = 2

1

 

Biasanya persamaan-persamaan dalam matriks digunakan vektor kolom ( n x 1), maka notasi baku vektor kolom adalah huruf kecil:

x1

x = x2

x3

 

Diberikan suatu matriks A berordo mx n, vektor baris ke-I dari A dinyatakan oleh a (1,: ) dan vektor kolom ke j dinyatakan oleh a ( :, j).

Bila A suatu matriks m x n , vektor baris A diberikan oleh a ( 1,: ) = (ai1, ai2, . . . ain ) i = 1, 2, 3, . . . , n , vektor kolom a ( :, j ) adalah sama dengan :

a1j

a2j

amj

 

sehingga matriks A dinyatakan oleh vektor baris / kolom

A = ( a1, a2, . . . ., an ) atau : a ( 1, . . . )

a ( 2, . . . )

a ( m, . . . )

Agar dua matriks menjadi sama, maka kedua matriks harus mempunyai ordo yang sama dan entri-entri yang seletak sama.

Definisi:

Dua matriks A dan B berordo masing-masing berordo m x n dikatakan sama, jika aij = bij untuk setiap I dan j.

 


Penjumlahan Matriks

 

Dua matriks dengan ordo yang sama dapat dijumlahkan dengan menjumlahkan entri-entri yang seletak.

Definisi:

Jika A = aij dan B = bij kedua-duanya adalah matriks m x n . maka jumlah A + B aadalah aij + bij untuk setiap pasang ( i, j ).

Contoh:

1. 3 2 1 2 2 2 5 4 3

4 5 6 + 1 2 3 = 5 7 9

 

Perkalian Matriks

Lebih umum perkalian matriks A dan B jika banyaknya kolom dari A sama dengan banyaknya baris dari B.

Definisi:

Jika a = aij adalah matriks m x n dan B = bij matriks n x r, maka hasil kali AB = C =cij adalah matriks m x n yang entrinya di definisikan oleh:

Cij = a ( i , : ) b ij =

Contoh:

1. Buktikan bahwa AB BA

3 -2

B = 2 4 A = -2 1 3

1 -3 4 1 6

 

2. Buktikan bahwa XY YX

Y =

 

X =

 
1 1 1 1

0 0 2 2

 

3. Berat badan Bob adalah 178 pound. Dia ingin mengurangi berat badan melalui diet dan latihan fisik. Sesudah mencari keterangan dari tabel 1, dia membuat jadwal latihan fisik pada tabel 2. Berapa kalori yang akan terbakar dengan melakukan latihan fisik setiap hari jika dia mengikuti rencana ini.

Tabel.1.

Kalori yang terbakar tiap jam

Aktifitas latihan Berat badan dalam pound

152 161 178

Jalan kaki = 2 mil/jam 213 225 249

Lari 5,5 mil/jam 651 688 764

Sepeda 5,5 mil/jam 304 321 356

Tenis secukupnya 420 441 492

 

Tabel.2.

Jumlah jam/hari untuk setiap aktifitas jadwal latihan

Jadwal Latihan

Jalan Lari Sepeda Tenis

Senin 1 0 1 0

Selasa 0 0 0 2

Rabu 0,4 0,5 0 0

Kamis 0 0 0,5 2

Jumat 0,4 0,5 0 0

 

 

4. Sebuah perusahaan menghasilkan 3 buah produk: Biaya produksi dibagi ke dalam 3 kategori, dan setiap kategori diberikan taksiran untuk biaya produksi barang dari masing-masing produk. Dibuat juga suatu taksiran untuk jumlah masing-masing produk yang akan dihasilkan setiap kuartal.Taksiran tersebut disajikan dalam tabel 1 dan tabel 2.

Perusahaan ingin menyajikan pada rapat pemegang saham (tabel menunjukkan biaya total setiap kuartal dari masing-masing pada 3 buah kategori yaitu bahan mentah, tenaga kerja, dan biaya overhead)

Tabel.1.

Biaya produksi per barang ( $ )

Produk

Biaya A B C

Bahan mentah 0,1 0,3 0,15

Tenaga kerja 0,3 0,4 0,25

Biaya overhead 0,1 0,2 0,15

 

Tabel.2.

Jumlah yang dihasilkan per kuartal

Musim

Produk Panas Gugur Dingin Semi

A 4000 4500 4500 4000

B 2000 2400 2400 2200

C 5800 6200 6000 6000

 


TRANSPOSE MATRIKS

Jika A adalah suatu matriks m x n, maka transpose dari A dinotasikan sebagai AT. Yaitu suatu matriks n x m yang dihasilkan dari saling menukarkan antara baris dan kolom matriks A. Dalam hal ini kolom pertama dari matriks AT adalah baris pertama dari matriks A, kolom kedua matriks AT adalah baris kedua matriks A dan seterusnya.

Contoh:

2 3 2 1 5

A = 1 4 AT = 3 4 6

5 6

 

Ada 3 macam jenis matriks transpose :

  1. Matriks simetris
  2. Matriks miring (skew)
  3. Matriks miring simetris (skew symetris )

 

Syarat utama pada ketiga jenis matriks ini adalah bujur sangkar (ordo sama).

1.               Matriks Simetris

Matriks elemen aij pada baris ke-I dan kolom ke-j sama dengan elemen aji pada baris ke j dan kolom ke i.Hubungan antara elemen tersebut berarti bahwa transpose dari sebuah matriks adalah sama dengan matriks asal, maka matriks simetris adalah:

A = AT jika A adalah matriks simetri


Contoh:

1 2 3 1 2 3

A = 2 4 5 AT = 2 4 5

3 5 6 3 5 6

 

  1. Matriks Skew (miring )

Matriks yang antara elemen-elemen yang tidak terletak pada diagonal utamanya mempunyai hubungan negatif. Artinya aij = - aji dan elemen diaginal utamanya boleh terdiri atas sembarang bilangan asalakan tidak nol semuanya (aii 0)

Contoh:

1 2 3

-2 4 -5

-3 5 6

 

  1. Matriks Skew Simetris

Jika semua elemen diagonalnya adalah nol semuanya dan transpose dari matriks ini sama dengan matriks asala dengan tanda negatif.

Matriks skew simetris mempunyai syarat :

A = - AT

Aij = -aji dan aii = 0

Contoh:

0 2 3 0 -2 -3

A = -2 0 -5 -AT = 2 0 5

-3 5 0 3 -5 0

Trace Matriks

Jika A adalah matriks bujur sangkar, maka trace dari A dinotasikan tr (A) didefinisikan sebagai jumlah dari semua entri pada diagonal utama matriks A.

Contoh:

a11 a12 a13

A = a21 a22 a23

a31 a32 a33

 

tr ( A ) = a11 + a22 + a33

Matriks Identitas

Suatu matriks bujur sangkar yang semua entri pada diagonal utamanya berniali 1 dan entri yang lain 0. Matriks identitas disimbolkan dengan I.

Contoh:

1 0 1 0 0

0 1 0 1 0

0 0 1

 

Invers Matriks

Jika A adalah suatu matriks bujur sangkar dan jika matriks B juga dengan ordo yang sama maka akan dipenuhi

A B = B A + I

Maka A dapat dikatakan dapat diinverskan dan B disebut invers dari A. Notasi invers matriks A adalah A-1.


Contoh:

B =

 

A =

 
2 -5 3 5

-1 3 1 2

 

A B = I dan B A = I

 


Jika matriks A =

 
a b

c d

dapat diinverskan jika dipenuhi persyaratan bahwa ad bc 0, adapun matriks inversnya adalah:

A-1 = d -b

-c a

 

Jika A adalah suatu matriks yang dapat diinverskan maka AT juga dapat diinverskan:

( AT ) 1 = ( A-1)T

 

 

Determinan Matriks

Secara umum determinan didefinisikan sebagai susunan bilangan berbentuk bujur sangkar yang dihitung menurut aturan matematika. Ordo suatu determinan ditentukan oleh banyak baris dan kolom dalam determinan tersebut. Determinan dinotasikan sebagai det A= A dan penyelesaian ini berlaku untuk ordo 2 x 2 dan 3 x 3. Untuk ordo sebaliknya diselesaikan dengan kondensasi pivot atau dengan adjoint matriks. Untuk ordo 2 x 2 kalikan elemen diagonal utama dikurangkan dengan elemen diagonal lain.

Contoh:

 

 

 

Untuk ordo 3 x 3, menggunakan cara Aturan Sarrus yaitu dua kolom pertama dari determinan ditulis ulang di sebelah kanan dan di lakukan perkalian tiga bilangan dibentuk sesuai dengan arah panah.

        Arah panah ke kanan ( + )

        Arah panah ke kiri ( - )

-

 

+

 
Contoh:

A11 A12

A21 A22

A = A11 . A22 A21..A12

 

Minor

Minor sebuah determinan adalah determinan lain yang dibentuk dengan menghilangkan sejumlah sama (banyak) baris dan kolom dari determinan mula-mula. Ordo minor ditentukan oleh banyaknya baris atau kolom pada minor itu sendiri. Sebagai gambaran jika dari determinan orde 4 akan didapatkan minor orde 3 jika dihilangkan satu baris dan satu kolom.

Contoh:

Minor berordo 2 diperoleh dari determinan berordo 3 x 3

a11 a12 a13

a21 a22 a23 a22 a23 a21 a23

a31 a32 a33 a32 a33 a31 a33

 


a21 a22

a31 a32

 

Minor berordo 2 diperoleh dari determinan berordo 3 x 3

Minor utama terbentuk jika baris dan kolom yang dihilangkan mempunyai kedudukan yang sama. Maka contoh di atas merupakan bentuk minor utama.

 

Kofaktor

Kofaktor suatu elemen adalah merupakan minor yang bertanda sesuai dengan letaknya. Tanda yang diberikan sesuai dengan letaknya elemen tersebut dalam determinan. Misalkan elemen tersebut terletak dalam baris ke-i dan kolom ke-j, maka untuk i + j genap, maka letak tersebut bertanda positif ( + ) dan untuk

i + j ganjil, maka letak tersebut bertanda negatif ( - ).Kofaktor matriks pada suatu elemen diberi notasi Ac.

Pola tanda untuk menentukan kofaktor:

+ - + -

- + - +

+ - + -

Contoh:

ac11 = a22 . a33 - a23 . a32

a11 adalah genap karena 1 + 1 =2 dan tandanya adalah ( + )

ac12 = - (a21 . a33 ) - ( a23 . a31 )

a12 adalah ganjil karena 2 + 1 =3 sehingga tandanya (- )

Carilah kofaktor dari A ( Ac ) berikut ini:

2 -1 3

A = 0 4 -2

1 -3 5

 

 

Adjoint

Matriks adjoint disebut juga dengan matriks adjugate, yang hanya merupakan matriks transpose dari matriks kofaktor. Dapat dikatakan bahwa matriks adjoint dari A dinotasikan Aa adalah sebagai berikut:

Aa = ( Ac ) T